视频选集
控制理论作为现代工程技术的核心，广泛应用于工业自动化、航空航天等领域，而数学基础是构建控制理论的基石，贯穿系统建模、分析与控制器设计全过程，为其提供逻辑框架与精确论证。
- 微分方程用于描述系统时域动态，常微分方程用于机械、电路等系统建模，偏微分方程适用于热传导等分布参数系统，可通过方程解判断系统稳定性。
- 线性代数是现代控制理论核心，通过矩阵运算构建状态空间模型，利用特征值分析稳定性，实现极点配置与能控性、能观性分析。
- 积分变换将时域问题转换到频域，拉普拉斯变换定义传递函数，傅里叶变换分析频率响应，Z变换用于离散系统。
- 优化理论求解最优控制问题，变分法求最小时间等最优解，动态规划处理多阶段决策，凸优化应用于鲁棒控制。
- 稳定性理论中，李雅普诺夫方法判断非线性系统稳定性，频域判据用于经典控制稳定性分析。
- 概率与随机过程处理系统噪声，卡尔曼滤波实现最优状态估计，随机微分方程建模随机扰动系统。
- 差分方程描述离散系统，布尔代数应用于逻辑控制。
- 微分几何用于非线性系统反馈线性化。
- 泛函分析处理无限维系统，为分布参数系统提供数学框架。
- 微分几何与李群用于机器人运动学控制。
- 代数拓扑分析系统全局性质。
- 随机分析处理强随机扰动问题。
- 代数几何解决多项式系统控制问题。
- 量子控制数学实现量子态操控。
- 形式验证保证系统安全性。
- 博弈论优化多智能体决策。
- 机器学习与控制交叉实现数据驱动控制。
小结：数学与控制理论紧密交织，经典数学构建基础框架，前沿数学拓展研究边界，推动控制理论在智能制造、量子科技等领域持续创新。
推荐书籍
• 经典基础：《自动控制原理》（胡寿松）系统讲解经典控制；《Modern Control Engineering》（Ogata）结合实例阐述现代控制；《线性系统理论》（郑大钟）深入分析线性系统理论。
• 进阶前沿：《Nonlinear Systems》（Khalil）专注非线性控制；《Functional Analysis》（Brezis）夯实泛函分析基础；《A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation》融合几何理论与机器人控制。
• 交叉领域：《Convex Optimization》（Boyd）介绍凸优化在控制中的应用；《Stochastic Processes for Engineers》讲解随机过程控制；《Machine Learning》（Mitchell）助力理解数据驱动控制。